对分析动力学的一些理解

对分析动力学的一些理解

本文核心词：
一个自由质点的位置在空间中的位置需要三个坐标确定，一个质点系里面若有n 个质点，当然就需要3n 个坐标确定了。也就是说一个包含n 个质点的质点系的位形对应了3n 维空间中的一个点，在这3n 维空间中取定一组线性无关的基底，这3n 维空间中的一点就对应某时刻质点系的一个位形。
但是一般而言，质点系都会受到约束，使得这3n 个坐标不能独立地变动。设有s 个完整约束，那么可以独立变动的坐标就只剩下k=3n-s 个，叫做自由度。这k 个坐标不一定只取直角坐标系下的分量，可以灵活选取，如角度、距离等，我们把选取的这k 个能够确定质点系在约束下的位形的相互独立的坐标，叫做广义坐标。
要注意的是，后面我们可以选取不独立的广义坐标，然后在拉格朗日方程中是带约束的。还要注意的是对非完整约束，因为是对速度有约束，所以独立的坐标变分数只有k=3n-s-m 个，只有k 个自由度，m 是质点系受到的非完整约束个数。自由度的定义是独立的坐标变分数，对完整约束，独立的坐标变分数和独立的坐标数相等。
我们的目标是要找到这个受约束质点系（或称之为系统）的动力学方程，一般是关于时间变量的常微分方程组，求解这个常微分方程组就可以得到坐标（或广义坐标）关于时间的显示表达式（或关系），那么系统的位形随时间的演变规律也就知道了。
那么，我们怎么得到系统的动力学方程呢？牛顿告诉我们，在每一时刻（或瞬时），质点系中的每个质点在主动力和约束力作用下会有一个加速度，这个加速度可以由牛顿第二定律在已知外力（主动力和约束力）的情况下求出来：

我们希望把约束反力去掉，建立不出现约束反力的运动方程。把Fi 分解成两部分：

其中，miai 是改变质点运动状态的有效力，Ri 是对改变运动状态不起作用的损失力，显然损失力和约束反力相平衡：