世界上最难的数学题(5)

背景 我们所知多数非凡（nontrivial）－－即有相互作用－－的4维量子场论皆有cutoff scale的有效场论。因多数模型的beta-函数是正的，似乎大多数这类模型皆有一支Landau pole，因我们完全不清楚它们有没有非凡紫外定点。故此，若每一scale上皆定义有这样的量子场论[注 1]，它只可能为单纯的自由场论。 然而，有不可交换结构群的杨-米尔斯理论（无夸克）例外。它有一种性质称为渐近自由，指它有一单纯的紫外定点。因此，我们可以寄望它成为非凡的构造性（constructive）四维量子场模型。 不交换群Yang-Mills理论的色禁闭性已有符合理论物理严谨性的证明，但未有符合数理物理严谨性的证明[注 3]。基本上，换言之，过了QCD尺度（或者这里应称为禁闭尺度，因为无夸克），那些色荷粒子被色动力学的流管连着，所以粒子间有线性势（弦张力x长度）。
所以胶子之类自由贺粒子不可能存在。若没有这些禁闭效应，我们应见到零质量的胶子；但因它们被禁闭，我们只见到不带色荷的胶子束绑态胶波。凡胶波皆质量，所以我们期望质量间隙。 格点规范场论的结果令不少工作者相信，这个模型真的有禁闭现象（由Wilson圈的真空期望值的下降的面积规律(area law)看出），但这项结果还没有符合数学的严慬性。
六：纳维-斯托克斯存在性与光滑性

纳维-斯托克斯存在性与光滑性是有关纳维－斯托克斯方程其解的数学性质有关的数学问题，是美国克雷数学研究所在2000年提出的7个千禧年大奖难题中的一个问题。 纳维－斯托克斯方程是流体力学的重要方程，可以描述空间中流体（液体或气体）的运动。纳维－斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中。不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论研究仍然不足，尤其纳维－斯托克斯方程的解常会包括紊流。虽然紊流在科学及工程中非常的重要，不过紊流仍是未解决的物理学问题之一。 许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明。例如数学家就尚未证明在三维坐标，特定的初始条件下，纳维－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解。也尚未证明若这様的解存在时，其动能有其上下界，这就是纳维-斯托克斯存在性与光滑性问题。 由于了解纳维－斯托克斯方程被视为是了解难以捉摸的紊流现象的第一步，克雷数学研究所在2000年5月提供了美金一百万的奖金给第一个提供紊流现象相关信息的人，而不是给第一个创建紊流理论的人。
基于上述的想法，克雷数学研究所设定了以下具体的数学问题。
部分结果

二维空间下的纳维-斯托克斯问题已在1960年代得证：存在光滑及全局定义解的解。 在初速05[4]相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解。 若给定一初速06[6]，且存在一有限、依06[7]而变动的时间T，使得在07[4]的范围内，纳维-斯托克斯方程有平滑的解，还无法确定在时间超过T后，是否仍存在平滑的解。 数学家让勒雷在1934年时证明了所谓纳维-斯托克斯问题弱解的存在，此解在平均值上满足纳维-斯托克斯问题，但无法在每一点上满足。
七：贝赫和斯维讷通-戴尔猜想